2017届高考理科数学二轮复习训练：1-2-4 高考中的三角函数（解答题型）（参考解析）

         1．[2015·甘肃一诊]在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝－2ccosC.

(1)求角C的大小；

(2)若a＋b＝6，且△ABC的面积为2，求边c的长．

解 (1)由正弦定理得sinBcosA＋sinAcosB＝－2sinCcosC，

∴sin(A＋B)＝－2sinCcosC，

化简得sinC＝－2sinCcosC.

∵0<∠C<π，∴sinC≠0，

∴cosC＝－2(1)，∴∠C＝120°.

(2)∵a＋b＝6，∴a²＋b²＋2ab＝36.

又∵△ABC的面积为2，∠C＝120°，

∴2(1)absinC＝2，∴ab＝8，∴a²＋b²＝20.

由余弦定理c²＝a²＋b²－2abcosC＝20－2×8×2(1)＝28.

∴c＝2.

2．[2015·天津五区县调考]已知函数f(x)＝sinxcosx－cos²x＋2(1)(x∈R)．

 (1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移6(π)个单位长度，得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

解 (1)f(x)＝sinxcosx－cos²x＋2(1)＝2(3)sin2x－2(1)cos2x＝sin6(π)

由2kπ－2(π)≤2x－6(π)≤2kπ＋2(π)得kπ－6(π)≤x≤kπ＋3(π)(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为3(π)(k∈Z)．

(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移6(π)个单位，得g(x)＝sin3(π)，

因为x∈[0，π]得：x－3(π)∈3(2π)，所以sin3(π)∈，1(3)

所以当x＝0时，g(x)＝sin3(π)有最小值－2(3)，

当x＝6(5π)时，g(x)＝sin3(π)有最大值1.

3．[2015·济宁模拟]已知向量m＝，1(x)，n＝4(x)，记f(x)＝m·n.

(1)若f(x)＝1，求cos3(π)的值；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．

解 (1)f(x)＝m·n＝sin4(x)cos4(x)＋cos²4(x)

＝2(3)sin2(x)＋2(1)cos2(x)＋2(1)＝sin6(π)＋2(1)，

因为f(x)＝1，所以sin6(π)＝2(1)，

所以cos3(π)＝1－2sin²6(π)＝2(1).

(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，

由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，

所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，

所以2sinAcosB＝sin(B＋C)．

因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，

所以cosB＝2(1)，又0<B<2(π)，所以B＝3(π).

则A＋C＝3(2)π，A＝3(2)π－C，又0<C<2(π)，

则6(π)<A<2(π)，得3(π)<A＋6(π)<3(2π)，

所以2(3)<sin6(π)≤1又因为f(2A)＝sin6(π)＋2(1)，故函数f(2A)的取值范围是2(3).

4．[2015·陕西质检(二)]在△ABC中，sinA＝sinB＝－cosC.

(1)求角A，B，C的大小；

(2)若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．

解 (1)由sinA＝sinB且A、B为△ABC内角，可知A＝B，

从而有C＝π－2A.

又sinA＝－cosC＝cos2A＝1－2sin²A，

∴2sin²A＋sinA－1＝0，

∴sinA＝－1(舍去)，或sinA＝2(1).

故A＝B＝6(π)，C＝3(2π).

(2)设BC＝2x，则AC＝2x，在△ACM中，AM²＝AC²＋MC²－2AC·MCcosC，

∴7＝4x²＋x²－2·2x·x·cos3(2π)，

∴x＝1，

∴△ABC的面积S＝2(1)·CA·CB·sinC＝2(1)·2x·2x·sin3(2π)＝.

5．[2015·贵州八校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n.

 (1)求角B的大小；

(2)设BC中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．

解 (1)因为m∥n，故有(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0

由正弦定理可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a²＋c²－b²＝ac，

由余弦定理可知cosB＝2ac(a2＋c2－b2)＝2ac(ac)＝2(1)，因为B∈(0，π)，所以B＝3(π).

(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，

由B＝3(π)可知θ∈3(2π)，

由正弦定理及AD＝有sinθ(BD)＝－θ(2π)＝3(π)＝2；

所以BD＝2sinθ，AB＝2sin－θ(2π)＝cosθ＋sinθ，

所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝cosθ＋sinθ，

从而a＋2c＝2cosθ＋6sinθ＝4sin6(π)，

由θ∈3(2π)可知θ＋6(π)∈6(5π)，所以当θ＋6(π)＝2(π)，

即θ＝3(π)时，a＋2c的最大值为4；

此时a＝2，c＝，所以S＝2(1)acsinB＝2(3).

6．[2015·厦门质检]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝2(π)，AC＝3，BC＝2，P是△ABC内的一点．

(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长；

(2)若∠BPC＝3(2π)，设∠PCB＝θ，求△PBC的面积S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值．

解 (1)解法一：∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC＝2，

∴∠PCB＝4(π)，PC＝，

又∵∠ACB＝2(π)，∴∠ACP＝4(π)，

在△PAC中，由余弦定理得PA²＝AC²＋PC²－2AC·PCcos4(π)＝5，

∴PA＝.

解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有C(0,0)，B(2,0)，A(0,3)，

∵△PBC是等腰直角三角形，∠ACB＝2(π)，

∴∠ACP＝4(π)，∠PBC＝4(π)，

∴直线PC的方程为y＝x，直线PB的方程为y＝－x＋2，

由y＝－x＋2(y＝x)得P(1,1)，

∴PA＝＝，

(2)在△PBC中，∠BPC＝3(2π)，∠PCB＝θ，

∴∠PBC＝3(π)－θ，

由正弦定理得3(2π)＝sinθ(PB)＝－θ(π)，

∴PB＝3(3)sinθ，PC＝3(3)sin－θ(π)，

∴△PBC的面积S(θ)＝2(1)PB·PCsin3(2π)

＝3(3)sin－θ(π)sinθ

＝2sinθcosθ－3(3)sin²θ＝sin2θ＋3(3)cos2θ－3(3)

＝3(3)sin6(π)－3(3)，θ∈3(π)，

∴当θ＝6(π)时，△PBC面积的最大值为3(3).